顶点被认为是该方法可见的。
[0094] 讨论预处理ii
[009引然后，该示例的方法在3D网格上提取3D图元(primitive)。运里该方法可W使用与 2013年11月18日提交的名为DASSAULT SYSTEMS申请EPl3306576.3所描述的方法相同的方 法，W便于计算在网格的每个可见顶点处的最高曲率值。图8示出了与给定3D网格(未示出 相对应的照片），W及3D网格的高曲率顶点80(即，具有最大曲率高于预先确定的阔值的顶 点)和低曲率顶点82(即，具有最大曲率低于预先确定的阔值的顶点），其W不同颜色在照片 上高亮显示化ighlight)。
[0096]实际上，在该示例中，执行优化S20利用的是：在3D网格的顶点与纹理图像的像素 之间的预先确定的关系，实际上是针对3D网格的顶点的3D曲率值与纹理图像的像素到纹理 图像的最近轮廓的距离值之间的预先确定的关系。在SlO处提供的映射假定为表明3D网格 的3的?点在纹理图像上的位置。然而，如上所述，该方法利用S20来校正运样的位置，运是基 于在优化S20期间的评估(经由代价函数:勞;:），达到遵循在3D网格的顶点处评估的第一函数 的值与在纹理图像的像素处评估的第二函数(对应于第一函数）的值之间的预先确定关系 的程度。评估"遵循的程度"本身的任何方式可W被实施，诸如所述两个值之间的归一化差 值(normalized difference)。"关系"是任何形式的数学关系，并且其可W是对称关系。目 的在于评估保留在像素移位的预先确定的列表中的像素移位是否将引起3D顶点的特征与 移位的纹理坐标的特征之间的一致性(运样的一致性的规则是预先确定义的），并且更具体 地不一致性将有多高。示例的方法实现运样的"遵循的程度"评估的具体示例将在之后详 述。运样的预先确定的关系形成与纹理图像和由3D网格表示的实际对象相关的预知识来进 行纹理化，并从而可W取决于应用。
[0097] 在示例的情况下，该方法考虑了 3D网格的顶点的曲率值(例如，顶点处的最大3D曲 率值)与纹理图像中与2D梯度相关的值(例如，纹理图像的像素到纹理图像的最近轮廓的距 离值，如所已知的"轮廓"为纹理图像的区域，例如，可W通过任何已知的预先确定的方案来 确定的高梯度的线)之间的预先确定的关系。具体地，预先确定的关系可W是3D曲率相对于 所述距离的递减函数（即，具有高最大曲率的3的?点应该相对更接近纹理图像的轮廓）。该 示例的方法使用运样的预先确定的关系的具体实现之后将详述。运允许优化充分考虑具有 纹理图像和实际对象的上下文，尤其是在从运动中恢复结构的分析的情况下。运是因为实 际对象上的折叠(fold)将通常导致3D表示中的高曲率(并因此，出现该示例的几何特征）， 并且通常将导致2D视图的高梯度。然而，可W考虑其他预先确定的关系。例如，可W直接考 虑纹理图像的像素梯度。能够考虑其他几何特征(不一定与3D曲率相关)和/或其他图形特 征(不一定与像素梯度相关），如提到的2013年11月18日提交的名为DASSAULT SYSTEMS的申 请EP13306576.3那样。实际上，无论使用何种3D顶点与2D像素之间的预先确定关系（只要运 样的预先确定的关系是相关的），该方法都被证明有用，运是因为该方法利用离散MRF解决 方案的计算优势实现了附加的优化层。
[0098] 参考图9,其示出了S角网格上的点的曲率估计，设X为网格上的3D点，并且{xl---xn}为其直接近邻（immediate neig化or)，隐含了对于中的每个点，存在导向X的 网格中的边。设{y 1 ? ? ? yn}为近邻的X转化(x-trans Iated)集合，W使得X成为原点。设Z是点X 处网格的法线。如果其不存在，那么该方法可W将邻近=角形的法线进行平均。该方法然后 可W假定垂直于Z的任意方向X，并通过Y = Z~X来完成标准正交基(odhonormal basis)。我 们将{z，zl-，zn}称为该新基中的投影集合^，別-，^11}。然后通过最小二乘法拟合抛物面来 估计该集合内的表面，该方法由此推断在Z点处的曲率和方向估计。跟随该标准正交基，能 够利用(a，b，C)来描述该抛物面，W使得:Z = ax2+bxy+巧2
[0099] 系数为a, b和C的最小二乘法产生：
[0101] 设X为n*3的矩阵，其行i等于(zi(l)2，zi(l)zi(2)，zi(2)2)，而J为大小为n的向量 (zi(3))i。那么线性最小二乘法解为：
[0103] 由于示例的表面是规律的，因此主曲率(principal curvature)是海森化essian) 矩阵H的特征值化igen value)。平均曲率(mean curvature)!!!被定义为两个主曲率的和， 即，m = t;r(H)。高斯曲率g是两个主曲率的积，g = det(H)。
[0104] 由于;?完j,m = 2(a+c)且g = 4ac-b2。
[0105] 设cl和c2是X处的H的特征值。通过定义m=cl+c2且g = clc2。设A =m2-4g，从而得 到：
[0107] X处的表面曲率的明显界限是[minkl，c2) ;max(cl，c2)]。因此，X处的最高值的曲 率近似为max( I Cl I，I c2 I ) 处的曲率可W被认为等于该值。
[010引讨论预处理iii:计算RGB图像上的距离转换
[0109] 上面描述的预处理确定了在顶点处的3D曲率(之后W便于评估遵循预先确定的关 系的程度）。然而，如上所述，该方法的示例的特定评估还要求纹理图像的像素到纹理图像 的最近轮廓的距离值："距离转换"。运样的距离转换能够计算如下。
[0110] 设I是RG姻像(例如，纹理图像），S= 1X1，...，抑}是I的像素的子集。给定S的I的距 离转换是一个图像，它的每个像素的灰度(intensity)是其到S的距离，即至化中的最近像素 的距离。该方法可W使用倒角掩膜(Chamfer mask)来加速距离转换的计算。倒角掩膜允许 近似，但仍然是精确且快速的距离转换计算。特别地实现了下面论文中描述的倒角掩膜： M. Stencel等人，On Calculation of Chamfer Distance and Lipschitz Covers in Digital Images，在S4G 2006。简言之，想法是使用应用到像素的小掩膜，向其给出邻近像 素的距离的近似。该方法可W针对S中的像素 W距离0开始，而针对其他像素 W无限 (infinity)开始。方法可W进行前后传递来应用倒角掩膜，即该方法可W针对向前传递从 左上开始至右下，而针对向后传递从右下开始向左上。针对每个像素，该方法可W应用倒角 掩膜，并且如果倒角掩膜返回更小的距离则更换像素的近邻的距离。
[0111] 示例中的目标是计算一个图像，其中每个像素具有到输入RGB图像的最近边缘的 距离作为像素的值。示例中的第一步骤是将RGB图像转换为灰度级图像。然后，该示例的方 法可W应用化nny边缘检测器来获得轮廓图像，如图像处理领域广泛已知的那样，例如在 J.F.Canny,A Computational Approach to Edge Detection, IE邸 PAMI 1986的论文中描 述的那样，W用于提取图像的边缘。简言之，Canny边缘检测器将图像平滑化，计算每个像素 处的梯度（法向+方向Knorm+direction)，抑制非最大梯度值，并最终应用滞后阔值 (hysteresis thresholding)。
[0112] 属于运些边缘的像素形成一组标注的S，并且该示例的方法可W最终在给定S下向 纹理图像应用距离转换。结果由图10-12示出，其分别示出可W在SlO处提供的输入图像（图 10)，由化nny边缘检测器检测的边缘(图11)，W及由倒角掩膜计算的距离转换（图12)。
[011引讨论步骤2:优化
[0114] 讨论优化的子步骤i:建立马尔科夫随机场
[0115] 首先针对在SlO处提供的=角形3D网格呈现如何建立MRF底层的图的示例。示例的 一般化是直接的。
[0116] 设V= {VI，. . .，vn}是3D模型的可见顶点的集合，而《如骑，巧。W培Vi的邻近 顶点，其中m(vi)是Vi的近邻的数量。
[0117] 该示例的方法定义了无向图G=(V，E)，其中E = {{vi，vj} I i，je U，. . .，n} ,VjEN (Vl)}。E是所有连接3D模型中的两个可见顶点的边的集合。设F={{vl，VJ，vk}|i，j，ke {1，. . .，n} ,VjEN(Vi) ,VkEN(Vi) ,VkEN(Vj)}是网格中的所有可见S角形的集合。
[om]图的每个节点Vi能够采取来自集合L=Ui,...，lh}的标签L(Vi)。在该示例的情况 下，L是纹理坐标在像素中所允许的移位/位移。该示例的方法采取L= {(0,0)，（0，1)，（1， 0)，（1，1),(-1，〇)，（〇，-1)，（-1-1)，（-1,1),(1，-1)}，其给出了9个标签。该方法还能够允许 两个像素偏移(25个标签)甚至更多，但是在标签的数量保持低时计算速度大大增加。在网 格的失真很重要的情况下，代替增加标签的数量，该方法可W剪切/减小输入图像的分辨 率，并保持1个或者2个像素移位作为允许的标签。U Vi)是随机变量。标签L(V) =化 (Vl)，...，L(Vn))是随机变量，其向图G中的每个节点分配标签。注意的是针对顶点的标签 (〇,〇)是其纹理坐标的零偏移，并因此仅对应于通过纹理投影映射算法所计算的纹理坐标， 良P，根据SlO处提供的唯一映射将顶点投影到图像上。
[0119] 每个节点Vi具有采取标签Ia的概率P(L( Vi) = la)。该方法假定Vi条件上独立于给定 的Vi的近邻Vj。该假设称作马尔科夫性质。具有该性质的图称作马尔科夫随机场(MRF)。图G 的边因此表示节点之间的依赖性。如果两个节点共享一个边，那么它们的标签直接依赖。
[0120] 哈默斯利克利福德定理规定了如果无向图G满足马尔科夫性质，那么概率分布P(L (V))能够在图的所有最大团（完全子图）被因式分解。如果网格是流形的(manifold),那么 当前图的最大团仅是网格的S角形。所W，^￡'(巧）-垂0;,,,巧"如f知枯社(如岭诚^
[0121] 当然，在概率框架中想要设及SlO处提供的3D网格和纹理图像，此处称作观察。该 示例的方法已计算输入图像的距离转换和顶点的曲率。所W，给定对距离转换和曲率的观 察0，具有针对每个标签的先验，称作可能性，并且记作 F(則L(巧）階！P识u(化)二：！私扔口u脚リ-去n托:!新如柄I}:
[0122] 最终，得到了能够称作MP(最大后验)推论问题的内容。已知曲率和输入图像的距 离转换，想要找到最可能的标签L(V'），意味着L(V'）=argmaxL(v)P(L(V) |〇)。
[012引贝叶斯法则立即给出了主(|/>3 紋r巧佛[紋悼:1巧々i f'如)）X P(i(r))。
[0124] 能够将其重写为
其中，捉^ 枝沒(斬）且Vi,j,k=-l〇g(如,j,k)。
[0125] 最终将推论问题重写为离散优化问题。
[0126] 注意到：巧Kn j O X e哗(-…Sf=J知件('的）如巧心';斯:朴(略,'