一种在多用户MIMO‑OFDM系统中的功率速率双目标优化方法与流程

本发明涉及一种LTE核心技术MIMO-OFDM中的资源分配技术，特别涉及一种在多用户MIMO-OFDM系统中的功率速率双目标优化方法，属于无线通信技术领域。

背景技术：

随着现代通信对系统吞吐量的需求不断上升，通过无线资源(时、频、功率)分配提高系统吞吐量(频谱效率)非常重要。而在多用户MIMO-OFDM系统中，由于引入了空分多址，资源在可分配的维度上增加了一倍，使得原本就难以优化的资源分配问题更加复杂。为了降低复杂度，多数研究都对资源分配的自由度做了限制：比如，一些研究中都规定每个子载波上只容纳一个用户，就意味着放弃空分多址带来的资源增益。再比如，有些研究限定功率在每个子信道上平均分配，由于信道增益不同，功率平均分配使得条件好的信道不能充分利用功率资源实现更大的传输速率。`

同时，由于对绿色通信的追求，在一定吞吐量条件下最小化系统总功率也日渐成为优化目标。由于功率优化和吞吐量优化在目标诉求上相互矛盾，所以，现有的大多数文献都是单目标优化策略。总的来说就是限定系统最低总速率，在此基础上来最小化系统消耗功率；或者是限定系统最大的总消耗功率，在此基础上来最大化系统总速率。据我们所知，目前文献中没有对多用户MIMO-OFDM系统中功率和速率进行双目标优化。

不能进行双目标优化的根本原因是：

1、存在非线性约束造成优化问题非凸难以求解；

2、因为同一子载波对不同的用户具有不同的增益，在为子载波选择用户的时候，无法用传统的贪婪算法同时兼顾功率优化和速率优化，也就无法获得联合优化的次优解。

因此，要联合优化这两个指标只能通过穷举法。由于多用户MIMO-OFDM较大的资源的自由度，用穷举法得到最优解在计算量上也不可行。

技术实现要素：

本发明所要解决的技术问题是提供一种在多用户MIMO-OFDM系统中的功率速率双目标优化方法，提出了一种在保证系统总速率的前提下，对多用户MIMO-OFDM系统中的功率和速率进行双目标优化的方法。传统的对LTE核心技术(MIMO-OFDM)的研究都局限于一个目标，要么是功率，要么是速率，本发明结合了这两个目标，建立了双目标优化模型，进一步提高了频谱效益和能量效益。

本发明将用户选择融入到对功率优化和速率优化中完成，消除了对功率和速率这两个目标同时进行优化的矛盾性。首先，建立功率和速率的双目标优化模型。由于存在非线性约束，因此本发明设计了原问题的对偶问题，解决了原问题的非凸性，将原问题转变为了可以用凸优化技术求解的凸优化问题，同时证明了原问题和其对偶问题的对偶间隙为0，以及证明了通过求解对偶问题的最优解也即求得了原问题的最优解。主要是利用权重因子，将两个待优化的目标通过加权和的形式合并为一个目标。具体就是在优化功率的同时利用权重因子将速率考虑进来。在求解对偶问题时，提出了一种解决上述对偶问题的分解和迭代方法，大大减少了分配的复杂度。而且在满足系统最低吞吐量的前提下，通过控制迭代方法的精度，来尽量的最小化系统能耗，以及最大化系统吞吐量，实现了同时提高功率资源和频谱资源利用效率的目的。

本发明为解决上述技术问题采用以下技术方案：

本发明提供一种在多用户MIMO-OFDM系统中的功率速率双目标优化方法，其特征在于，该方法包括以下步骤：

步骤1：定义多用户MIMO-OFDM中基站与用户通信的系统模型，具体为：

基站与用户在同一时隙内通信，每个子载波上能够复用多个用户，用户间干扰通过预编码技术来消除，每个子载波上最大可复用的用户数为：

N_T/n_r (1)

式中，N_T为基站发送天线数，n_r为用户的接收天线数；

第m个子载波上第i个用户的总的带宽归一化传输速率为：

式中，η_i,m为第m个子载波上第i个用户的等效平行信道个数，p_i,m,l为分配给某一等效平行信道l的功率，表示第m个子载波上第i个用户的第l个平行信道的等效信道增益，为第m个子载波上第i个用户的选择结果，若第i个用户在第m个子载波上则为1，否则为对于特定的误码率，是由非理想传输技术所带来的功率损失；N_o是满足零均值复高斯随机变量的信道噪声的功率；m＝1,2,3...,N，i＝1,2,3,...,K_m，N为子载波个数，K_m为第m个子载波上的用户数；

步骤2：建立功率速率双目标优化模型，具体为：

根据步骤1中得到的子载波上最大可复用的用户数以及公式(2)，建立功率速率双目标优化问题如下：

式中，P为系统总消耗功率，R为系统要求的最低带宽归一化总速率；

步骤3：求解步骤2建立的功率速率双目标优化模型，进行用户选择以及功率和速率的分配，其中，求解功率速率双目标优化模型具体为：设计功率速率双目标优化问题的对偶问题，功率速率双目标优化问题的对偶问题的最优解即为功率速率双目标优化问题的最优解。

作为本发明的进一步优化方案，步骤1中用户间干扰通过预编码技术来消除，其中，发送预编码矩阵的求解方法具体为：

令H_i,m为第m个子载波上第i个用户的信道矩阵，为第m个子载波上其他用户的信道矩阵所组成的大矩阵，即为第i个用户的干扰联合矩阵；对进行奇异值分解并做以下变换：

其中，和为酉矩阵，满足为的零奇异值和非零奇异值构成的对角矩阵；Σ₁是非零奇异值构成的矩阵；是的非零奇异值对应的左奇异值向量；是的零奇异值所对应的右奇异值向量，称为的零空间；

对式(4)再做如下变化：左乘同时右乘得到：

由矩阵相乘的性质得到：

式(6)两边左乘可以得到：

式(7)有解的条件是每个子载波上最大可复用的用户数为：

N_T/n_r (8)

定义：对于子载波m，定义基站端的发送预编码矩阵其中

其中，是经奇异值分解后对应的奇异值向量，奇异值分解为：

其中，为酉矩阵，满足为的零奇异值和非零奇异值构成的对角矩阵。

作为本发明的进一步优化方案，第m个子载波上第i个用户的总的带宽归一化传输速率的计算方法为：

首先，将信道H_i,m等效成η_i,m个平行信道，η_i,m为矩阵的秩；

其次，利用香农定理可以得到第l个等效平行信道的归一化带宽传输速率：

最后，在第m个子载波上，将第i个用户的η_i,m个等效平行信道的归一化带宽传输速率相加，得到第m个子载波上第i个用户的总的带宽归一化传输速率：

作为本发明的进一步优化方案，步骤3中设计功率速率双目标优化问题的对偶问题，具体为：利用权重因子，把两个待优化的目标通过加权和的形式合并为一个目标，构造拉格朗日函数为：

其中，υ为权重因子；

令：

从而得到，功率速率双目标优化问题的对偶问题为：

作为本发明的进一步优化方案，步骤3中功率速率双目标优化问题的对偶问题的最优解的求解方法为：

5.1，将双目标优化问题的对偶问题分解成N个子载波上的子问题，利用凸优化方法分别求解每个子问题，进而得到对偶函数，具体为：

根据式(11)和(14)，将h(υ)分解成N个独立的子问题h'_m(υ)，m＝1,2,3…,N：

其中：

5.2，假设对于第m个子载波，用户选择结果已知，则先通过凸优化方法得出最优的功率及相应的速率表达式，然后进行用户选择和求解使得h(υ)最大的υ^*，具体为：

1)式(17)的最小化问题转化为：

2)引进拉格朗日乘子向量θ_i,m,l，将式(18)写成如下形式的拉格朗日函数：

3)式(18)的优化问题得到最优解需满足的如下条件：

p_i,m,lθ_i,m,l＝0 (21)

式中，▽表示对p_i,m,l求导；

式(21)恒成立的条件是：

将式(22)带入式(20)并求导得到：

式中，(·,0)⁺表示取“·”、“0”中的最大值；

将式(23)代入式(11)中，得到：

将式(23)和(24)代入(17)中，得到：

4)通过二分法确定使h(υ)最大的υ^*，迭代过程中利用改进的贪婪算法进行用户选择，并进行功率分配和速率分配，具体为：

①初始化：令υ的最小值υ_min＝0，υ的最大值υ_max＝υ₀，其中，为任意的用户功率分配；

②令

③在第m个子载波上，利用改进的贪婪算法，从所有可能的用户选择中找到使h'_m(υ)最小的具体算法如下：

Ⅰ)将代入(25)中，将(25)写成的函数：

Ⅱ)利用改进的贪婪算法进行用户选择，具体为：

ⅰ)定义系统总用户数为K；定义第m个子载波上的用户选择集合为set_m，set_m的初值为set_m＝φ；

ⅱ)在系统的K个用户中，选择一个使得最小的用户，并将其加入到集合set_m中；

ⅲ)从剩余的K-1个用户中，随机选择一个用户加入集合set_m，同时计算该用户对应的如果该值小于或者等于之前加入集合set_m中用户对应的值，则该用户被选择，否则该用户被舍弃；

ⅳ)根据ⅲ)的方法遍历系统剩余的所有用户，直至第m个子载波上选择的用户N_T/n_r；

④重复进行步骤③，得到每个子载波上最优的用户选择集合(set₁,set₂,…,set_N)，完成用户选择过程，从而获得最小的

⑤将本次迭代的和代入(23)：

⑥将④和⑤中得到的p_i,m,l和代入中，如果则令υ_max＝υ；否则令υ_min＝υ；

⑦重复进行②至⑥，直至υ_max-υ_min≤δ，δ为预设精度阈值；从而得到功率速率双目标优化问题的对偶问题的最优解，即得到功率速率双目标优化问题的最优解，完成用户选择以及功率和速率的分配。

作为本发明的进一步优化方案，υ的最大值υ₀确定方法为：

设和分别为任意的用户选择结果和功率分配，且满足：

将功率速率双目标优化问题的对偶问题的最优值υ^*和式(28)代入式(13)的拉格朗日函数中，得到：

定义功率速率双目标优化问题的最优值为P^*，则υ^*对应的对偶问题最优值h(υ^*)＝P^*，因此：

进一步，因为P^*≥0，则：

即：

υ^*的最大值即为υ的最大值，从而得到

本发明采用以上技术方案与现有技术相比，具有以下技术效果：相比于多数研究中限制资源自由度的做法，本发明能够在保证系统最低吞吐量要求下，最大化系统吞吐量，同时最小化系统的功率消耗。进一步提高了系统频谱资源和功率资源的利用率。

附图说明

图1为本发明的方法流程图。

图2为多用户MIMO-OFDM系统下行链路信道模型。

图3为迭代过程中进行用户选择以及功率和速率分配的算法流程图。

具体实施方式

下面结合附图对本发明的技术方案做进一步的详细说明：

本发明提供了一种在多用户MIMO-OFDM系统中的功率速率联合优化方案。为了减少多用户MIMO-OFDM系统中资源分配的复杂度，而对资源分配的自由度做限制会导致过多的资源被浪费。本发明的方案在资源分配的过程中不做任何限制，充分利用各个子信道(空分、频分)的特性，在每个子载波上进行用户选择的时候同时考虑功率和速率这两个优化目标，在保证系统最低吞吐量的同时，尽可能的最小化系统发射功率，同时最大化系统总速率。

本发明在多用户MIMO-OFDM系统中，建立功率和速率的联合优化模型，并且在子载波上进行用户调度以及功率分配过程中，在保证系统最低吞吐量的要求下，最小化系统发射功率同时最大化系统总速率。将由非线性约束造成的非凸优化问题，通过一定的方法转换成可利用凸优化技术求解的凸规划问题，并且提出一种分解和迭代算法降低求解复杂度，不仅提高了频谱的利用率，而且提高了功率资源的利用效率，实现了同时追求最大频谱效益和降低系统能耗的目标。

本发明提出了一种在保证系统最低吞吐量要求下，对功率和速率进行双目标优化的方法，如图1所示，该方法包括如下步骤：

步骤1：定义多用户MIMO-OFDM中基站与用户通信的系统模型，如图2所示：

设系统基站有N_T根发送天线，每个终端有n_r根接收天线组成，系统总的用户数为K。设第m个子载波上有K_m个用户复用该子载波，则K_m个用户总的接收天线数为N_R＝K_mn_r，一般满足N_T≥N_R。K_m个用户间的干扰可用BD(Block Diagonalization)即块对角化技术来消除。

设T_k,m为第k个用户(k＝1,2…K_m)在第m个子载波上的预编码矩阵，b_k,m为第k个用户的传输数据，则第m个子载波上第i个用户(i＝1,2…K_m)的接收信号y_i,m是：

式中，H_i,m是第m个子载波上第i个用户的信道矩阵，n_i,m是该信道上的高斯白噪声，显然，要去除其他用户对第i个用户的干扰，就要将式(1)中第一部分(即干扰)置0，即：

因为发送的数据b_k,m不会为0，则只有：

同理，对于除第i个用户以外的其他用户的信道增益矩阵，与第i个用户的预编码矩阵相乘结果为0，即：

为除第i个用户以外的其他用户的信道增益矩阵组成的大矩阵，表现为对第i个用户的干扰，称为第i个用户的干扰联合矩阵，用表示，的维度是

设为满秩矩阵，所以秩对进行奇异值分解并做以下变换：

其中，和均为酉矩阵，满足为的零奇异值和非零奇异值构成的对角矩阵；Σ₁是非零奇异值构成的矩阵；是的非零奇异值对应的左奇异值向量；是的零奇异值所对应的右奇异值向量，称为的零空间；即对第i个用户来说，可消除其他同户对它的干扰。

因为酉矩阵每一列构成的向量都是正交的，则酉矩阵任意两列相乘结果都为0。

对式(5)再做如下变化：左乘同时右乘得到：

由矩阵相乘的性质可以得到：

式(7)两边左乘可以得到：

因此预编码矩阵满足：

下面，通过推导(8)式有解的条件来得到共享子载波用户的个数：

式(5)中维度是(N_R-n_r)×(N_R-n_r)，[Σ₁,0]是由的N_R-n_r个非0奇异值组成的对角矩阵，它的维度与一样也是(N_R-n_r)×N_T，也就是的维度是N_T×N_T，其中，是的N_R-n_r个非0奇异值对应的左奇异值向量，维度是N_T×(N_R-n_r)，是的N_T-N_R+n_r个0奇异值对应的右奇异值向量，维度是N_T×(N_T-N_R+n_r)。和相乘也就是(N_R-n_r)×N_T维矩阵与N_T×(N_T-N_R+n_r)维矩阵相乘，相当于：N_T-N_R+n_r个N_T元齐次线性方程组，每个方程组由(N_R-n_r)×N_T维矩阵与N_T×1维的未知元向量相乘构成。n元齐次线性方程组Ax＝0有解的充分必要条件是r(A)＜n，因为则每个N_T元齐次线性方程组有解的充分必要条件是：

N_R-n_r＜N_T (10)

将(10)式两边同时除以n_r，即每一个子载波上最大的用户数要满足以下条件：

式(11)就是每个子载波上最大可共享的用户数，只有满足这个条件，用户间的干扰才会被消除，用户才可以共享同一个子载波。后文为每个子载波选择用户群的时候，最大的用户数要满足(11)的制约。

定义：对该式进行奇异值分解如下：

在发送端利用预编码技术，接收端利用对应的处理矩阵来消除多用户间的干扰。对于第m个子载波，定义基站端的发送预编码矩阵T_m＝[T_1,m,T_2,m,…,T_Km,m]，其中

接收端的处理矩阵定义为:其中，将(1)中的接收信号y_i,m左乘并将预编码矩阵(13)带入，得到下式：

式(14)中的称为第m个子载波上第i个用户的等效信道矩阵。

将式(12)中的左乘右乘之后带入(14)可得：

由(14)(15)两式可知，等效的信道增益为它是经奇异值分解后，由奇异值组成的对角矩阵。

经过这样处理后，用户间干扰被消除，每一个子载波上的MU-MIMO信道等效成多个独立的SU-MIMO信道。式(15)中的所有元素都是块对角化后的矩阵，即除对角元素外，其他元素都为0。

令η_i,m为信道增益对角矩阵的秩，即有η_i,m个不为0的奇异值，传输信道可以这样表示：因此每个子载波上每个用户的信道又可以等效成η_i,m个平行信道。在第m个子载波上，第i个用户的某一个等效平行信道l上的带宽归一化数据速率可以表示成：

式(16)中是信道增益对角矩阵的第l个对角元素，也就是第m个子载波上第i个用户的第l个等效平行信道的增益，p_i,m,l是分配给该等效平行信道的功率，而是第m个子载波上的第i个用户的选择结果。定义如下：

因此，在任一子载波m上，第i个用户的带宽归一化总数据速率可以表示为：

所以，每个子载波上的传输速率与该子载波上的用户选择结果有关，同一子载波对不同的用户具有不同的增益，因此不同的用户选择将影响该子载波上的总功率消耗和总传输速率。式中对于特定的误码率，是由非理想传输技术所带来的功率损失。N_o是满足零均值复高斯随机变量的信道噪声的功率。

步骤2：建立功率速率双目标优化模型；

因为同一子载波对不同的用户具有不同的增益，因此有效的为每一个子载波选择特定的用户群以及分配合适的功率是影响系统整体性能最关键的因素。对于N个子载波，我们通过找到最优的子载波用户选择结果和最优的子信道功率分配，在保证系统最低总速率要求的同时，来最小化系统发送功率，同时最大化系统总速率，实现功率速率双目标优化这一目标。

本发明设定系统最低的带宽归一化总速率要求为R，单位是比特每秒每赫兹(b/s/Hz)。由式(16)(17)(18)我们可以建立优化目标方程：

式(19)中N为子载波个数，K_m为子载波m上的用户数，p_i,m,l为分配给某一等效平行信道l的功率。

直接利用凸优化技术求解的凸优化问题除了要求函数和不等式约束函数是凸的之外还要求不存在非线性约束。在问题(19)中，约束条件中的优化变量是log函数，是非线性函数，即存在非线性约束，因此问题(19)非凸优化问题，不能直接利用凸优化技术求解。

本发明中，利用拉格朗日对偶思想求解该双目标优化问题。拉格朗日对偶问题的基本思想是把两个目标通过加权和的形式合并为一个目标。根据这个思想，构造如下拉格朗日函数：

其中，υ为加权值，又称为对偶变量。

令

那么，我们提出功率速率双目标优化问题的对偶问题为：

为了简单描述，本发明称功率速率双目标优化问题为原问题，功率速率双目标优化问题的对偶问题为原问题的对偶问题。

下面我们先给出两个定义，再证明我们提出对偶问题(22)的最优解就是原问题(19)的最优解。

定义1：功率速率双目标优化问题的最优值的下界：令功率速率双目标优化问题最优值为P^*，设存在q，使得q≤P^*，则称q为P^*的一个下界。定义2：功率速率双目标优化问题最优值的下确界：设有一实数集合为Q，对任意的q∈Q，q≤P^*恒成立，即Q中的元素都是P^*的下界，在Q中，若存在一个最大的元素q_max，则q_max就称为P^*的下确界。

对任意一个可行的υ^，令d^＝h(υ^)，设原问题(19)的最优解为P^*，则下式成立：

d^≤P^* (23)

即对偶问题构成功率速率双目标优化问题最优值的下界，其证明过程详见文末证明一)。

设对偶问题的最优解为υ^*，对应的最优值，即h(υ)的最大值，为d^*。则d^*就是原问题最优值的下确界。P^*和d^*的差值称为对偶间隙。一般来说，对于原非凸问题，对偶间隙一般不为0。但是对于本发明的优化问题，该对偶间隙就是为0(具体证明过程详见文末证明二))，则强对偶性成立，在这一条件下，将对偶最优解υ^*带入(20)中，求解关于{p_i,m,l}的如下问题：

那么(24)的最优解，在强对偶性成立的条件下，是原问题的可行解，也是原问题的最优解。因此，利用这个性质，我们通过求解出对偶问题的最优解从而得到原问题的最优解。

步骤3：求解功率速率双目标优化模型，进行用户选择以及功率和速率的分配；

在对偶问题(22)中，h(υ)称为拉格朗日对偶函数，它是拉格朗日函数(20)关于变量p_i,m,l取得的最小值。它是一簇关于υ的仿射函数的逐点下确界，因此，h(υ)为凹函数，不等式约束条件是凸的，这对偶问题就构成凸优化问题的另一种形式—凹最大化问题，就可以利用凸优化技术求解。

具体的求解过程是：先求拉格朗日函数(20)关于变量p_i,m,l的最小值，得到对偶函数h(υ)，然后在所有可行的υ中求出使得h(υ)最大的υ^*。因此，首先将式(16)带入式(21)中，可以将h(υ)写成如下形式：

其中：

(25)表明可以将原问题分解成N个独立的子问题h'_m(υ)(m＝1,2,3…,N)分别求解，从而得到h(υ)。

(26)的求解可以分为两步，第一步假设对于任意子载波m，用户选择结果已知，则先通过凸优化技术得出最优的功率及相应的速率表达式，然后进行用户选择和求解使得h(υ)最大的υ^*。

在这样的思想下，(26)的最小化问题可以先解以下优化问题：

这是一个标准的凸优化问题(满足凸优化问题的三要素条件)，可以利用标准的凸优化技术求解。为此，引进拉格朗日乘子向量θ_i,m,l，将(27)写成如下形式的拉格朗日函数：

根据凸优化问题的最优性条件，满足KKT条件的点就是最优解。优化问题(27)得到最优解需满足的2个KKT条件如下：

p_i,m,lθ_i,m,l＝0 (30)

式中，▽表示对p_i,m,l求导，式(30)恒成立的条件是：

将(31)带入(29)可以得到：

上式中的(·,0)⁺表示取“·”、“0”两者中的最大值。

将(32)带入式(16)中，进一步可以得到：

将(32)(33)带入(26)中，得到：

(34)是的函数，可以通过选择最佳的用户群获得。

最后通过二分法确定使h(υ)最大的υ^*，迭代过程中利用改进的贪婪算法进行用户选择,并且进行功率分配和速率分配。迭代过程如下：

二分法的迭代过程如下：

首先，初始化：令υ的最小值υ_min＝0；令υ的最大值υ_max＝υ₀(υ_o是最优值υ^*的上界，υ_o的推导过程详见文末证明三))。

然后，重复以下步骤：

1、令

2、在每个子载波m(1,2,…,N)上，利用改进的贪婪算法，从所有可能的用户选择中找到使h'_m(υ)即(34)最小的具体算法如下：

将代入(34)中，然后将(34)看成是子载波m的用户选择结果的函数，得到如下等式：

改进的贪婪算法进行用户选择：

ⅰ、设系统总用户数为K。

ⅱ、在子载波m上，设set_m＝φ(空集)，表示子载波m上用户选择集合。由(13)可知，每一个子载波上用户数目不超过N_T/n_r(N_T是发送天线数，n_r是每个终端的接收天线数)。在系统所有的K个用户中，选择一个使得最小的用户，加入到集合set_m中。

ⅲ、然后从剩余的K-1个用户中，随机选择一个用户加入集合set_m，同时计算如果新算得的小于或者等于之前的值，则该用户被选择，否则，比之前的还大的话，则该用户被舍弃。继续从剩余的K-2个用户中选择一个用户加入集合set_m(不超过N_T/n_r为准则)，其他步骤类似。继续遍历余下所有用户。

ⅳ、直到子载波m上被选的总用户数最大不超过N_T/n_r为止。

v、对其他的子载波(1,2,…,m-1,m+1,…,N)重复步骤ⅱ-ⅳ，得到每个子载波上最优的用户选择集合(set₁,set₂,…,set_N)。

这样就完成了用户选择过程。用户选择确定了，也就获得了最小的

3、将本次迭代得到的υ，和带入(32)得：

4、将步骤2、3中得到的p_i,m,l和带入中，如果得到的则令υ_max＝υ；否则令υ_min＝υ。

重复上面四个步骤，直到υ_max-υ_min≤δ，δ为我们设置的常量用于控制算法的精度。υ_max和υ_min之间的距离越近，也就是δ越小，算法精确度越高。至此，最优的功率和速率的分配也完成了，求解结束。

下面是对前文中步骤2、3中的相关原理的证明的具体表述：

一)由对偶定理，对偶函数构成原问题最优值的下界：即对任意的υ≥0：

h(υ)≤P^* (36)

成立。

证明如下：

设是原问题(19)的一个可行点，即满足：

对任意一个可行的υ(满足υ≥0)，结合(37)，我们有：

进一步可以得到：

结合(39)，所以下式成立：

因为对任意一个可行的υ或者p_i,m,l，都满足因此，当时，不等式h(υ)≤P^*恒成立，以及当υ＝υ^*时，h(υ^*)≤P^*也恒成立。

二)h(υ)是凹函数，从式(25)(34)可知最优的对偶变量υ'应满足：

将(16)代入(21)中，将得到的h(υ)对υ求导，并令导数为0，得：

令为满足式(42)的用户选择结果，将和υ'带入(32),得：

将(43)带入到(19)的约束条件中，可知其为原问题的可行解，即满足下式：

由式(41)(42)(43)可以得到对偶问题最优值令h(υ')＝d'，由d'得到的{p'_i,m,l}，由(44)可知是原问题的可行解，又因为由附录Ⅰ可知，对偶函数构成原问题最优值的下界，即满足d'≤P^*，因而对于原问题而言{p'_i,m,l}也是最优的，因此P^*＝d'成立，即对偶间隙为0，强对偶性成立。

三)设为任意的用户选择结果和功率分配，满足：

将对偶问题最优值υ^*和(45)代入(20)的拉格朗日函数中，得到

定义原问题最优值为P^*，因对偶间隙为0，则υ^*对应的对偶最优值h(υ^*)＝P^*。又因为不是最优的功率分配方法，因此：

进一步，因为P^*≥0，结合(46)(47)，则下式成立：

由(48)最左侧和最右侧可得：

令则：

υ₀≥υ^* (50)

即υ^*的上界为υ₀。

迭代过程中进行用户选择和功率分配的迭代算法流程图如图3所示。

综上所述，本发明能够在保证系统最低吞吐量要求下，最大化系统吞吐量，同时最小化系统能耗，实现了功率速率双目标优化这一目标，进一步提高了系统频谱资源和功率资源的利用效率。

作为LTE核心技术的MIMO-OFDM能够在解决带宽效益和多径衰落的同时大幅度提高上下行链路的速率。在多用户MIMO-OFDM系统中，不同用户在空间和频率上进行区分，因此具有很大的自由度将用户分配到不同的空间和频域。随着绿色通信的兴起，降低能耗和提高频谱效率成为通信界一致追求的目标。本发明在保证业务最低的性能要求下，尽可能的利用更少的资源换取更大的频谱和能量效益，响应了降低能耗的这一号召，具有很好的发展前景。

以上所述，仅为本发明中的具体实施方式，但本发明的保护范围并不局限于此，任何熟悉该技术的人在本发明所揭露的技术范围内，可理解想到的变换或替换，都应涵盖在本发明的包含范围之内，因此，本发明的保护范围应该以权利要求书的保护范围为准。